转载-阿拉伯数字的演化

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0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

这套十分便于计算的数字被称为阿拉伯数字，它们最早是由印度数字演化而来的。

现在能证实的最早数字系统是大约公元前3世纪阿育王时期（大致相当于我国战国后期）的婆罗米数字(Brahmi numberals)，是一种没有位值（个位数、百位数、千位数等）概念的十进制数字，记法上比较复杂，10,20,100,200等数字都有单独的记号，0还没有出现，如图1所示。

图1 印度阿育王时期以来印度数字系统的演变

例如：Asoka阿育王，约公元前3世纪；Nana Ghat（今印度西部）公元前2-1世纪，Nasik公元249-250，……

随着时间和地点的推移，到公元1世纪时，其中的一组印度数字被写成下面的形式，这组数字被认为是今天阿拉伯数字的来源。

公元4世纪初至6世纪，笈多王朝（Gupta Empire）统一了印度境内的21个国家，这使得印度数字在印度大陆获得广泛的传播，他们的书写方式如下：

人们对0的认识较晚一些，最早有0记录的是埃及发现的公元前1770年一份纸莎草书记录的法老的日常收入和支出，其中下面的符号被认为是0。

古巴比伦人构造60进制的数字系统，0采用空位表示（什么也不写），到公元前300年，0被固定用两个斜放的楔子表示，如图2（左）所示。在玛雅文明的数字系统中使用占位符作为零，在一个石碑上曾发现了图2（中）所示的0，日期为公元前36年。不过，由于玛雅文明不是统一的文明，他们的0有多种形式，图2（右）也是玛雅标记0的一种方式。

图2 古巴比伦和玛雅时期的0

人们在古印度数学家Pingala（约公元前 3或2世纪）的著作中发现了0的使用，这是印度最早使用0的记录，他使用短音节和长音节组成的二进制数，以śūnya（空）来表示0，佛教用于“空”也是来源于此，这层意义上人们习惯用一个圆圈来表示空，很接近现代0的形象。

此外，古印度梵语中的点（bindu [बिंदु]）也被用于表示0，因为点是一个微不足道的图形，0也是微不足道的，因此可以用点来表示0。以0来表示位值可能是在笈多王朝中期，时间约为公元240年至公元535年左右，类似于图3所示的数字，0（中间的点）占据一位数。

图3 高棉数字 605，来自 Sambor 铭文（萨卡时代605 对应于公元 683 年）

古印度对0的贡献并不是说他们发明了“0”的符号，而是他们对0的认识比其他文明更进一步。最早描述0的运算的是古印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，c.598-c.668），在他的《梵天奇迹论》（Brahmas phuṭa siddhānta）中最早将0视为一个独立的数字，并给出了0和负数的运算法则。例如，他这样描述加法和减法：

两个正数之和为正数，两个负数之和为负数；一个正数和一个负数之和为它们的差；如果它们相等，则为零。一个负数与零之和为负数，一个正数与零之和为正数，两个零之和为零。

负数减零为负数，正数减零为正数；零减零为零。若要从负数中减去正数，或从正数中减去负数，则必须加上正数（意思是需要进行数的加法运算）。

对0的乘法描述为，

一个负数和一个正数的乘积为负数，两个负数的乘积为正数，正数的乘积为正数；零和一个负数、零和一个正数或两个零的乘积为零。

他对除以零的描述与我们现代的理解不同：

正数除以正数，负数除以负数为正数；零除以零为零；正数除以负数为负数；负数除以正数也为负数。

负数或正数除以零，得到零；零除以负数或正数，得到该负数或正数（他认为零除以什么就得到什么）。负数或正数的平方为正数；零的平方为零。其平方等于其平方根。

可见，他对负数和零的算术规则与现代理解基本一致，但对零的除法存在错误。

地中海地区是亚洲、欧洲和非洲的交界地，历史上不同的帝国在这里兴起、灭亡，文化在这里以一种激烈的方式得到了交流。影响较大的帝国如公元前550-公元651以伊朗为中心的波斯帝国，疆域从埃及、希腊一直到印度（图4(a)）；公元前336年-公元前323年以埃及为中心建立来了马其顿帝国(图4(b))也延伸到了印度；公元27年-公元476年以罗马为中心建立了罗马帝国(图4(c))主要是环地中海地区，公元622年-公元1258年以巴格达为中心的阿拉伯帝国(图4(d))从伊比利亚半岛到达印度河流域等等。

(a) 波斯帝国

(b) 马其顿帝国

(d) 阿拉伯帝国

图4 历史上的波斯帝国、马其顿帝国、罗马帝国、阿拉伯帝国鼎盛时期疆域图

印度数字在阿拉伯帝国时期得到了较快的传播。公元529年，东罗马帝国关闭了雅典学院(新柏拉图学院)，许多学者带着他们的知识和材料逃离该地区向东迁徙，在中东地区形成了新的文化中心，东方的印度数学也向这里聚集。公元662年，聂斯脱里派主教塞维鲁·塞博赫特（Severus Sebokht）对印度数字由衷的赞叹道：

他们在天文学方面的精妙发现，这些发现比希腊人和巴比伦人的发现更为巧妙，以及他们无可描述的宝贵计算方法。我只想说，这种计算是通过九个符号进行的。如果那些因为说希腊语而相信自己已经达到科学极限的人读过印度文献，他们就会相信，即使有点晚了，还有其他人知道一些有价值的东西。

阿拉伯帝国的阿拔斯王朝时期(750–1258)，在巴格达的智慧宫（House of Wisdom）掀起了著名的翻译运动，公元751年阿拔斯王朝在恒罗斯战役战胜唐朝军队，其中的俘虏将中国的造纸术带到了阿拉伯世界，对翻译工作提供了必要条件。翻译运动成功地形成了文明重叠，并在文化和政治领域开辟了新的版图。

据阿拉伯学者al-Qifti的《学者年表》（Chronology of the scholars）记载：

公元776年，一位印度人来到哈里发曼苏尔面前，他精通与天体运动有关的 siddhanta 计算方法，并且知道如何计算基于半弦（本质上是正弦）的方程式，以半度为单位计算... 这些都包含在一部著作中…

有学者认为这部著作指的就是古印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，c.598-c.668）的《梵天奇迹论》（Brahmas phuṭa siddhānta），前文提到了该书中对0和负数的运算。此后，阿拉伯世界逐渐流行起来印度数字系统。

人们根据12世纪的一本拉丁语的译本Algoritmi de numero Indorum（意思为印度数字上的花剌子密）认为，阿拉伯数学家穆萨·花拉子米（Al-Khwarizmi，c780.-c.850）是第一个系统使用了印度数字的数学家，Algoritmi（算法）就是花剌子密的拉丁语翻译。艾哈迈德·花剌子米 (Muhammad ibn Ahmad al-Khwarizmi)在976年指出：

如果计算中十位上没有数字出现，则应使用一个小圆圈“保留行”。这个圆圈被称为ṣifr。

这样带有0的阿拉伯数字系统就完成了。11世纪，随着阿拉伯人在欧洲的统治，使得阿拉伯数字传入西欧。公元999年，教皇西尔维斯特二世（Pope Sylvester II, c. 946 –1003）担任主教和教皇期间，将失传的教义重新引入欧洲，其中的数字就被称为“阿拉伯数字”。

1202年意大利数学家斐波那契（Fibonacci，c.1170 - c.1240-50）完成了《算盘之书》（Liber Abaci）（图6），这本书使印度-阿拉伯数字在欧洲流行起来，相比于罗马数字，他认为阿拉伯数字实在是太方便了。到16世纪，印度-阿拉伯数字逐渐演变成今天的样子，成为欧洲使用的主要数字（图7）。